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ラグランジュ補間法の導出の仕方

あっ, どーも僕です.

後輩(男)から, ラグランジェ補間法の導出の仕方を聞かれたんですが, もう何度もやっていて正直めんどくさいので, ここに簡単に書いておきます.

グランジェ補間法

 すでに, このブログになんどか登場していますが, ラグランジェ補間法とは任意の点を通る関数(一価)を設定する手法です. 数値積分を習えば必ず出ててくる極めて一般的な手法です.
 任意の n+1 点を次のように設定します.
 このとき, 定義とかは省略しますが, 設定した点を通りそうな関数を次のように考えます.

 上の式のなかで のときに1, それ以外の設定した点で0となるように決めればラグランジェ補間法が得られます.
 まず, 因数定理から次式を得ます. は定数です.

 また, のときに1という条件から次式を得ます.

 よって, が得られますので, が条件通りに設定出来ます.

 すべての を求めればラグランジェ補間法の完成です. まとめるとこのような式になります.